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明史
  卷三十三 ‧ 志第九  曆三

大統曆法一下法原

太陽盈縮平立定三差之原

冬至前後盈初縮末限,八十八日九十一刻,就整。離為六段,每段各得一十四日八十二刻。就整。各段實測日躔度數,與平行相較,以為積差。

    積日     積差
第一段 一十四日八二 七千○五十八分○二五
第二段 二十九日六四 一萬二千九百七十六三九二
第三段 四十四日四六 一萬七千六百九十三七四六二
第四段 五十九日二八 二萬一千一百四十八七三二八
第五段 七十四日一○ 二萬三千二百七十九九九七
第六段 八十八日九二 二萬四千○二十六一八四

各置其段積差,以其段積日除之,為各段日平差。 置各段日平差,與後段日平差相減,為一差。 置一差,與後段一差相減,為二差。

    日平差      一差     二差
第一段 四百七十六分二五 三十八分四五 一分三八
第二段 四百三十七分八○ 三十九分八三 一分三八
第三段 三百九十七分九七 四十一分二一 一分三八
第四段 三百五十六分七六 四十二分五九 一分三八
第五段 三百一十四分一七 四十三分九七 
第六段 二百七十○分二○

置第一段日平差,四百七十六分二十五秒,為汎平積。 以第二段二差一分三十八秒,去減第一段一差三十八分四十五秒,餘三十七分○七秒,為汎平積差。 另置第一段二差一分三十八秒,折半得六十九秒,為汎立積差。 以汎平積差三十七分○七秒,加入汎平積四百七十六分二十五秒,共得五百一十三分三十二秒,為定差。 以汎立積差六十九秒,去減汎平積差三十七分○七秒,餘三十六分三十八秒為實,以段日一十四日八十二刻為法除之,得二分四十六秒為平差。 置汎立積差六十九秒為實,以段日為法除二次,得三十一微,為立差。

夏至前後縮初盈末限,九十三日七十一刻,就整。離為六段,每段各得一十五日六十二刻。就整。各段實測日躔度數,與平行相較,以為積差。

    積日     積差
第一段 一十五日六二 七千○五十八分九九○四
第二段 三十一日二四 一萬二千九百七十八六五八
第三段 四十六日八六 一萬七千六百九十六六七九
第四段 六十二日四八 二萬一千一百五十○七二九六
第五段 七十八日一○ 二萬三千二百七十八四八六
第六段 九十三日七二 二萬四千○百一十七六二四四

推日平差、一差、二差術,與盈初縮末同。

    日平差      一差     二差
第一段 四百五十一分九二 三十六分四七 一分三三
第二段 四百一十五分四五 三十七分八○ 一分三三
第三段 三百七十七分六五 三十九分一二 一分三三
第四段 三百三十八分五二 四十○分四六 一分三三
第五段 二百九十八分○六 四十一分七九 
第六段 二百五十六分二七

置第一段日平差,四百五十一分九十二秒,為汎平積。 以第一段二差一分三十三秒,去減第一段一差三十六分四十七秒,餘三十五分一十四秒,為汎平積差。 另置第一段二差一分三十三秒折半,得六十六秒五十微,為汎立積差。 以汎平積差三十五分一十四秒,加入汎平積四百五十一分九十二秒,共四百八十七分○六秒,為定差。 以汎立積差六十六秒五十微,去減汎平差三十五分一十四秒,餘三十四分四十七秒五十微為實,以段日一十五日六二為法除之,得二分二十一秒,為平差。 置汎立積差六十六秒五十微為實,以段日為法,除二次,得二十七微,為立差。

凡求盈縮,以入曆初末日乘立差,得數以加平差,再以初末日乘之,得數以減定差,餘數以初末日乘之,為盈縮積。

凡盈曆以八十八日九○九二二五為限,縮曆以九十三日七一二○二五為限。在其限已下為初,以上轉減半歲周餘為末。盈初是從冬至後順推,縮末是從冬至前逆溯,其距冬至同,故其盈積同。縮初是從夏至後順推,盈末是從夏至前逆溯,其距夏至同,故其縮積同。

盈縮招差圖圖闕

盈縮招差圖說

盈縮招差,本為一象限之法。如盈曆則以八十八日九十一刻為象限,縮曆則以九十三日七十一刻為象限。今止作九限者,舉此為例也。其空格九行定差本數,為實也。其斜線以上平差立差之數,為法也。斜線以下空格之定差,乃餘實也。假如定差為一萬,平差為一百,立差為單一。今求九限法,以九限乘定差得九萬為實。另置平差,以九限乘二次,得八千一百。置立差,以九限乘三次,得七百二十九。幷兩數得八千八百二十九為法。以法減實,餘八萬一千一百七十一,為九限積。又法,以九限乘平差得九百,又以九限乘立差二次得八十一,幷兩數得九百八十一為法,定差一萬為實,以法減實,餘九千零一十九,即九限末位所書之定差也。於是再以九限乘餘實,得八萬一千一百七十一,為九限積,與前所得同。蓋前法是先乘後減,又法是先減後乘,其理一也。

  按授時曆於七政盈縮,並以垛積招差立算,其法巧合天行,與西人用小輪推步之法,殊途同歸。然世所傳九章諸書,不載其術,曆草載其術,而不言其故。宣城梅文鼎為之圖解,於平差、立差之理,垛積之法,皆有以發明其所以然。有專書行於世,不能備錄,謹錄招差圖說,以明立法之大意云。

凡布立成

盈初縮末 置立差三十一微,以六因之,得一秒八十六微,為加分立差。置平差二分四十六秒,倍之,得四分九十二秒,加入加分立差,得四分九十三秒八十六微,為平立合差。 置定差五百一十三分三十二秒,內減平差二分四十六秒,再減立差三十一微,餘五百一十○分八十五秒六十九微,為加分。

縮初盈末 置立差二十七微,以六因之,得一秒六十二微,為加分立差。置平差二分二十一秒,倍之,得四分四十二秒,加入加分立差,得四分四十三秒六十二微,為平立合差。 置定差四百八十七分○六秒,內減平差二分二十一秒,再減立差二十七微,餘四百八十四分八十四秒七十三微,為加分。

已上所推,皆初日之數。其推次日,皆以加分立差,累加平立合差,為次日平立合差。以平立合差減其日加分,為次日加分。盈縮並同。其加分累積之,即盈縮積,其數並見立成。

太陰遲疾平立定三差之原

太陰轉周二十七日五十五刻四六,測分四象,象各七段,四象二十八段,每段十二限,每象八十四限,凡三百三十六限,而四象一周。以四象為法,除轉周日,得每象六日八八八六五,分為七段,每段下實測月行遲疾之數,與平行相較,以求積差。

    積限  積差
第一段 一十二 一度二十八分七一二
第二段 二十四 二度四十五分九六一六
第三段 三十六 三度四十八分三七九二
第四段 四十八 四度三十二分五九五二
第五段 六十  四度九十五分二四
第六段 七十二 五度三十二分九四四
第七段 八十四 五度四十二分三三七六

各置其段積差,以其段積限為法除之,為各段限平差。 置各段限平差,與後段相減為一差。 置一差,與後段一差相減為二差。

    限平差      一差     二差
第一段 一十○分七二六○ 四十七秒七六 九秒三六
第二段 一十○分二四八四 五十七秒一二 九秒三六
第三段 九分六七七二   六十六秒四八 九秒三六
第四段 九分○一二四   七十五秒八四 九秒三六
第五段 八分二五四○   八十五秒二○ 九秒三六
第六段 七分四○二○   九十四秒五六 
第七段 六分四五六四

置第一段限平差一十○分七二六為汎平積。 置第一段一差四十七秒七六,以第一段二差九秒三六減之,餘三十八秒四十微,為汎平積差。 另置第一段二差九秒三十六微折半,得四秒六十八微,為汎立積差。 以汎平積差三十八秒四十微,加汎平積一十○分七二六,得一十一分一十一秒。為定差。 置汎平積差三十八秒四十微,以汎立積差四秒六十八微減之,餘三十三秒七十二微為實,以十二限為法除之,得二秒八十一微,為平差。 置汎立積差四秒六十八微為實,十二限為法,除二次,得三微二十五纖,為立差。

凡求遲疾,皆以入曆日乘十二限二十分,以在八十四限已下為初,已上轉減一百六十八限餘為末。各以初末限乘立差,得數以加平差,再以初末限乘之,得數以減定差,餘以初末限乘之,為遲疾積。 其初限是從最遲最疾處順推至後,末限是從最遲最疾處逆溯至前,其距最遲疾處同,故其積度同。太陰與太陽立法同,但太陽以定氣立限,故盈縮異數。太陰以平行立限,故遲疾同原。

布立成法 置立差三微二十五纖,以六因之,得一十九微五十纖,為損益立差。 置平差二秒八十一微,倍之,得五秒六十二微,再加損益立差一十九微五十纖,共得五秒八十一微,為初限平立合差。自此以損益立差,累加之,即每限平立合差。至八十限下,積至二十一秒四一五,為平立合差之極。八十一限下差一秒七八○九,八十二限下一秒七八○八,至八十三限下,平立合差,與益分中分,為益分之終。八十四限下差,亦與損分中分,為損分之始。至八十六限下差,亦二十一秒四一五,自此以損益立差累減之,即每限平立合差,至末限與初限同。 置定差一十一分一十一秒,內減平差二秒八十一微,再減立差三微二十五纖,餘一十一分○八秒一十五微七十五纖,為加分定差,即初限損益分。 置損益分,以其限平立合差益減損加之,即為次限損益分。 以益分積之,損分減之,便為其下遲疾度。 以八百二十分為一限日率,累加八百二十分為每限日率。以上俱詳立成。

五星平立定三差之原

凡五星各以實測,分其行度為八段,以求積差,略如日月法。

木星立差加,平差減。

    積日      積差
第一段 一十一日五十刻 一度二一五二九七一一五
第二段 二十三日    二度三四○五二一四
第三段 三十四日五十刻 三度三五四一三七二六五
第四段 四十六日    四度二三四六○九一二
第五段 五十七日五十刻 四度九六○四○一三七五
第六段 六十九日    五度五○九九七八四四
第七段 八十○日五十刻 五度八六一八○四七二五
第八段 九十二日    五度九九四三四四六四

    汎平差       汎平較      汎立較
第一段 一十分五六七八○一 三十九秒一六二一 六秒二四二二
第二段 一十分一七六一八  四十五秒四○四三 六秒二四二二
第三段 九分七二二一三七  五十一秒六四六五 六秒二四二二
第四段 九分二○五六七二  五十七秒八八八七 六秒二四二二
第五段 八分六二六七八五  六十四秒一三○九 六秒二四二二
第六段 七分九八五四七六  七十○秒三七二一 六秒二四二二
第七段 七分二八一七四五  七十六秒六一五三 
第八段 六分五一五五九二

各置其段所測積差度分為實,以段日為法除之,為汎平差。各以汎平差與次段汎平差相較,為汎平較。 又以汎平較與次段汎平較相較,為汎立較。 置第一段汎平較三十九秒一六二一,減其下汎立較六秒二四二二,餘三十二秒九一九九,為初段平立較。加初段汎平差一十分五六七八○一,共得一十○分八十九秒七十○微,為定差。秒置萬位。 置初段平立較差三十二秒九一九九,內減汎立較之半,三秒一二一一,餘二十九秒七九八八,以段日一十一日五十刻除之,得二秒五十九微一十二纖,為平差。 置汎立差之半,三秒一二一一,以段日為法除二次,得二微三十六纖,為立差。

已上為木星平立定三差之原。

火星盈初縮末。立差減,平差減。

    積日
第一段 七日六十二刻五十分
第二段 一十五日二十五刻
第三段 二十二日八十七刻五十分
第四段 三十○日五十○刻
第五段 三十八日一十二刻五十分
第六段 四十五日七十五刻
第七段 五十三日三十七刻五十分
第八段 六十一日

    積差
第一段 六度二六八二五一二二八一八五五九三七五
第二段 一十一度六○○一七五七四三五九三七五
第三段 一十六度○二五九六三七九二五一九五三一二五
第四段 一十九度六六九○一三六二一二五
第五段 二十二度二七九八九一四七六○七四二一八七五
第六段 二十四度一六八二二八六○三二八一二五
第七段 二十五度三三一五五六二四九二六○一五六二五
第八段 二十五度六一九五一五六六

    汎平差
第一段 八十二分○六五七三四八四三七五
第二段 七十六分○六六七二六一六七五
第三段 七十○分○五八八五八一○九三七五
第四段 六十四分一八二九六九二五
第五段 五十八分四三九○五九六○九三七五
第六段 五十二分八二七一二九一八七五
第七段 四十七分三四七一七七九八四三七五
第八段 四十一分九九九二○六

    汎平較
第一段 六分一三九八四七二九六八七五
第二段 六分○○七八六八○七八一二五
第三段 五分八七五八八八八五九三七五
第四段 五分七四三九○九六四○六二五
第五段 五分六一一九三○四二一八七五
第六段 五分四七九九五一二○三一二五
第七段 五分三四七九七一九八四三七五

    汎立較
第一段 一十三秒一九七九二一八七五
第二段 一十三秒一九七九二一八七五
第三段 一十三秒一九七九二一八七五
第四段 一十三秒一九七九二一八七五
第五段 一十三秒一九七九二一八七五
第六段 一十三秒一九七九二一八七五

汎平較前多後少,應加汎立較。 置初段下汎平較六分一三九八四七二九六八七五,加汎立較一十三秒一九七九二一八七五,得六分二七一八二六五一五六二五,為初日下平立較。 置初段汎平差八十二分二十○秒六五七三四八四三七五,加初日下平立較六分二七一八二六五一五六二五,得八十八分四十七秒八十四微,為定差。 置初日下平立較六分二七一八二六五一五六二五,加汎立較之半,六秒五九八九六○九三七五,得六分三三七八一六一二五為實,以段日而一,得八十三秒一十一微八十九纖,為平差。 置汎立較之半,六秒五九八九六○九三七五,以段日七日六十二刻五十分為法除二次,得一十一微三十五纖為立差。

火星縮初盈末平差負減,立差減。

    積日
第一段 一十五日二十五刻
第二段 三十○日五十刻
第三段 四十五日七十五刻
第四段 六十一日
第五段 七十六日二十五刻
第六段 九十一日五十刻
第七段 一百○六日七十五刻
第八段 一百二十二日

    積差
第一段 四度五三一二五一八五七九六八七五
第二段 九度一○二九六一四五一二五
第三段 一十三度五三一六七○九○一七七三七五
第四段 一十七度四七八九七九○四
第五段 二十○度八四三六六三○六六四○六二五
第六段 二十三度四三一三三六二四一二五
第七段 二十五度○九二四三五二八三四六八七五
第八段 二十五度六一八三七四七二

    汎平差
第一段 二十九分七一三一二六九三七五
第二段 二十九分八四五七七五二五
第三段 二十九分五七八三五五○六二五
第四段 二十八分六五四○六四
第五段 二十七分三三三九五一五六二五
第六段 二十五分六一八○一七七五
第七段 二十三分五○六二六二五六二五
第八段 二十○分九九八六八六

    汎平較          汎立較
第一段 一十三秒二六四八三一二五 一十三秒五七六九七七五
第二段 二十六秒八四一八○八七五 六十五秒五八七二九七五
第三段 九十二秒四二九一○六二五 三十九秒五八二一三七五
第四段 一分三二○一一二四三七五 二十九秒五八二一三七五
第五段 一分七一五九三三八一二五 三十九秒五八二一三七五
第六段 二分一一一七五五一八七五 三十九秒五八二一三七五
第七段 二分五○七五七六五六二五

取汎立較均停者,三十九秒五八二一三七五,以較一段下汎平較一十三秒二六四八三一二五,餘二十六秒三一七三○六二五為較較,以加一段下汎平差二十九分七一三一二六九三七五,得二十九分九十七秒六十三微,為定差。 置較較二十六秒三一七三○六二五,以段日一十五日二十五刻而一,得一秒七二五七二五。再置汎立較之半一十九秒七九一○六八七五,以段日而一,得一秒二九七七七五。兩數並得三秒○二微三十五纖,為平差。 置汎立較之半一十九秒七九一○六八七五,以段日一十五日二五為法除二次,得八微五十一纖,為立差。

已上為火星平立定三差之原。

土星盈曆立差加,平差減。

    積日       積差
第一段 一十一日五十刻  一度六八三二四五八二八七五
第二段 二十三日     三度二三二一六四○一
第三段 三十四日五十刻  四度六二○九三○○八六二五
第四段 四十六日     五度八二三七一九六
第五段 五十七日五十刻  六度八一四七○八六六八七五
第六段 六十九日     七度五六八○七一一一
第七段 八十○日五十刻  八度○五七九八四一九一二五
第八段 九十二日     八度二五八六二二八八

    汎平差          汎平較         汎立較
第一段 一十四分六三六九二○二五 五十八秒四○三三二五 七秒四八五三五
第二段 一十四分○五二八八七   六十五秒八八八六七五 七秒四八五三五
第三段 一十三分三九四○○○二五 七十三秒三七四○二五 七秒四八五三五
第四段 一十二分六六○二六    八十○秒八五九三七五 七秒四八五三五
第五段 一十一分八五一六六六二五 八十八秒三四四七二五 七秒四八五三五
第六段 一十一分九六八二一九   九十五秒八三○○七五 七秒四八五三五
第七段 一十○分○○九九一八二五 一分○三秒三一五四二五 
第八段 八分九七六七六四

置第一段下汎平較,內減其下汎立較,餘五十○秒九一七九七五,為平立較。 以平立較,加本段汎平差,得一十五分一十四秒六十一微,為定差。 置平立較,內減汎立較之半,三秒七四二六七五,餘四十七秒一七五三,以段日十一日五十刻而一,得四秒一十○微二十二纖,為平差。 置汎立較之半,以段日除二次,得二微八十三纖,為立差。

土星縮曆立差加,平差減。

    積日      積差
第一段 一十一日五十刻 一度二四一九七四二六八七五
第二段 二十三日    二度四一三七三五六九
第三段 三十四日五十刻 三度四八五○七九六八六二五
第四段 四十六日    四度四二五八○一六八
第五段 五十七日五十刻 五度二○五六九七○九三七五
第六段 六十九日    五度七九四五六一三五
第七段 八十○日五十刻 六度一六二四一一○○四七五
第八段 九十二日    六度二七八三七八○八

    汎平差         汎平較        汎立較
第一段 一十分七九九七七六二五 三十○秒五二七三二五 八秒七五四九五
第二段 一十分四九四五○三   三十九秒二八二二七五 八秒七五四九五
第三段 一十分一○一六八○二五 四十八秒○三七二二五 八秒七五四九五
第四段 九分六二一三○八    五十六秒七九二一七五 八秒七五四九五
第五段 九分○五三三八六二五  六十五秒五四七一二五 八秒七五四九五
第六段 八分三九七九一五    七十四秒三○三○七五 八秒七五四九五
第七段 七分六五四八九四二五  八十三秒○五七○七五 
第八段 六分八二四三二四

置一段汎平較,內減其下汎立較,餘二十一秒七七二三七五,為平立較。以平立較加入本段汎平差,得一十一分○一秒七十五微,為定差。 置平立較,內減汎立較之半,四秒三七七四七五,餘一十七秒三九四九,以段日一十一日五十刻為法除之,得一秒五十一微二十六纖,為平差。 置汎立較之半,以段日為法除二次,得三微三十一纖,為立差。

已上為土星平立定三差之原。

金星立差加,平差減。

    積日      積差
第一段 一十一日五十刻 空度四○二一三四○九八七五
第二段 二十三日    空度七九一三九三六六
第三段 三十四日五十刻 一度一五四九一二○八一二五
第四段 四十六日    一度七四九八二二七六
第五段 五十七日五十刻 一度七五三二五九○九三七五
第六段 六十九日    一度九六二三五四四八
第七段 八十○日五十刻 二度○九四二四二三一六二五
第八段 九十二日    二度一三六○五六

    汎平差        汎平較        汎立較
第一段 三分四九六八一八二五 五秒五九七六二五   三秒七二九四五
第二段 三分四四○八四二○○ 九秒三二七○七五   三秒七二九四五
第三段 三分三四七五七一二五 一十三秒○六五五二五 三秒七二九四五
第四段 三分二一七○○六   一十六秒七八五九七五 三秒七二九四五
第五段 三分○四九一四六二五 二十○秒五一五四二五 三秒七二九四五
第六段 二分八四三九九二   二十四秒二四四八七五 三秒七二九四五
第七段 二分六○一五四三二五 二十七秒九七四三二五 
第八段 二分三二一八

置一段下汎平較,與其汎立較相減,餘一秒八六八一七五為平立較,以加汎平差,得三分五十一秒五十五微,為定差。 置平立較,與汎立較之半,一秒八六四七二五相減,餘三十四纖,以段日一十一日五十刻為法除之,得三纖,為平差。 置汎立較之半,以段日為法除二次,得一微四十一纖,為立差。

已上為金星平立定三差之原。

水星立差加,平差減。

    積日      積差
第一段 一十一日五十刻 空度四四○八四七三五三七五
第二段 二十三日    空度八六三一○一六八
第三段 三十四日五十刻 一度二五三八九六三七六二五
第四段 四十六日    一度六○○三六四八四
第五段 五十七日五十刻 一度八八九六三一○四三七五
第六段 六十九日    二度一○八八五六六六
第七段 八十○日五十刻 二度二四五二九二一一三七五
第八段 九十二日    二度二八五六四四三二

    汎平差        汎平較        汎立較
第一段 三分八三三四五五二五 八秒○八三九二五   三秒七二九四五
第二段 三分七五二六一六   一十一秒八一三三七五 三秒七二九四五
第三段 三分六三四四八二二五 一十五秒五四二八二五 三秒七二九四五
第四段 三分四七九○五四   一十九秒二七二二七五 三秒七二九四五
第五段 三分二八六三三一二五 二十三秒○○一七二五 三秒七二九四五
第六段 三分○五六三一四   二十六秒七三二一七五 三秒七二九四五
第七段 二分七八九○○二二五 三十○秒四六○六二五
第八段 二分四八四三九六

術同金星,求得定差三分八十七秒九十微,平差二十一微六十五纖,立差一微四十一纖。

已上為水星平立定三差之原。

右五星,皆以立差為秒,平差為本,定差為總。五星各以段次因秒,木土金水四星併本,惟火星較本,各以積日而積,五星皆較總,又各以積日乘之,得各實測之度分。

五星積日,皆以度率,除周日得三百六十五度二十五分太。各以四分之一為象限,惟火星用象限三之一,減象限為盈初縮末限,加象限為縮初盈末限。其命度為日者,為各取盈縮曆乘除之便,其實積日之數,即積度也。

里差刻漏

求二至差股及出入差。 術曰:置所測北極出地四十度九十五分為半弧背,以前割圓弧矢法,推得出地半弧弦三十九度二十六分,為大三斜中股。 置測到二至黃赤道內外度二十三度九十分為半弧背,以前法推得內外半弧弦二十三度七十一分。又為黃赤道大句,又為小三斜弦。 置內外半弧弦自之為句冪,半徑自之為弦冪,二冪相減,開方得股,以股轉減半徑,餘四度八十一分為二至出入矢,即黃赤道內外矢。 夏至日,南至地平七十四度二十六分半為半弧背,求得日下至地半弧弦五十八度四十五分。 半徑六十○度八十七分半,為大三斜中弦。 置大三斜中股三十九度二十六分,以二至內外半弧弦二十三度七十一分乘之為實,以半徑六十○度八十七分半為法除之,得一十五度二十九分,為小三斜中股。又為小股。 置小三斜中股一十五度二十九分,去減日下至地半弧弦五十八度四十五分,餘四十三度一十六分,為大股。 以出入矢四度八十一分,去減半徑六十○度八十七分半,餘五十六度○六分半,為大股弦。 置大股弦,以小股一十五度二九乘之為實,大股四十三度一六為法除之,得一十九度八十七分為小弦,即為二至出入差半弧弦。 置二至出入差半弧弦,依法求到二至出入差半弧背一十九度九十六分一十四秒。 置二至出入差半弧背一十九度九六一四,以二至黃赤道內外半弧弦二十三度七十一分除之,得八十四分一十九秒,為度差分。

求黃道每度晝夜刻。 術曰:置所求每度黃赤道內外半弧弦,以二至出入差半弧背乘之為實,二至黃赤道內外半弧弦為法除之,為每度出入差半弧背。又術:置黃赤道內外半弧弦,以度差八十四分一十九秒乘之,亦得出入差半弧背。 置半徑內減黃赤道內外矢,即赤道二弦差,見前條立成。餘數倍之,又三因之,得數加一度,為日行百刻度。又術:以黃赤道內外矢倍之,以減全徑餘數,三因加一度,為日行百刻度,亦同。 置每度出入半弧背,以百刻乘之為實,日行百刻度為法除之,得數為出入差刻。 置二十五刻,以出入差刻視黃道,在赤道內加之,在赤道外減之,得數為半晝刻,倍之為晝刻,以減百刻,為夜刻。

如求冬至後四十四度晝夜刻。 術曰:置冬至後四十四度黃赤道內外半弧弦一十七度二十五分六十九秒,又為黃赤道小弧弦,前立成中取之。以二至出入差半弧背一十九度九十六分一十四秒乘之為實,以二至黃赤道內外半弧弦二十三度七十一分為法除之,得一十四度五十二分八十五秒,為出入半弧背。又法:置黃赤道內外半弧弦一十七度二五六九,以度差○度八四一九乘之,亦得一十四度五二八五,為出入半弧背。 置半徑六十○度八七五,以四十四度黃赤道內外矢二度五十一分八十一秒又為赤道二弦差,前立成中取之。減之,餘五十八度三十五分六十九秒,即赤道小弦。倍之,得一百一十六度七十一分三十八秒,三因之,加一度,得三百五十一度一十四分一十四秒,為日行百刻度。又術:倍黃赤道內外矢得五度○三分六十二秒,以減全徑一百二十一度七十五分,亦得一百一十六度七十一分三十八秒,三因加一度,為日行百刻度,亦同。 置出入半弧背一十四度五十二分八十五秒,以百刻乘之為實,以日行百刻度三百五十一度一十四分一十四秒為法除之,得四刻一十三分七十五秒,為出入差刻。 置二十五刻,以出入差刻四刻一十三分七十五秒減之,因冬至後四十四度,黃道在赤道外,故減。餘二十○刻八十六分二十五秒,為半晝刻。倍之得四十一刻七十二分半,為晝刻。以晝刻減百刻,餘五十八刻二十七分半,為夜刻。又術:置出入差刻四刻一十三分七十五秒,倍之,得八刻二十七分半,以減春秋分晝夜五十刻,得四十一刻七十二分半,為晝刻。以倍刻加五十刻,得五十八刻二十七分半,為夜刻。晝減故夜加,餘倣此。

黃道每度晝夜刻立成

黃道積度 出入半弧背 日行百刻度 出入差刻分 冬至前後晝
夏至前後夜
冬至前後夜
夏至前後晝
十度十分 十度十分十秒 百十度十分十秒 刻十分十秒 十刻十分十秒 十刻十分十秒
 初 一九九六一四 三三七一六○八 五九二○四 三八一五九二 六一八四○八
 一   九五八七    一六八六  九一九五   一六一○   八三九○
 二   九五○六    一九三八  九一六六   一六六八   八三三二
 三   九三七二    二三四六  九一一九   一七六二   八二三八
 四   九一八三    二九二二  九○五三   一八九四   八一○六
 五   八九四○    三六六○  八九六八   二○六四   七九三六
 六   八六四二    四五五四  八八六四   二二七二   七七二八
 七   八二九一    五六一六  八七四二   二五一六   七四八四
 八   七八八四    六八四○  八六○○   二八○○   七二○○
 九   七四二二    八二二六  八四三九   三一二二   六八七八
一○   六九○六    九七八○  八二六○   三四八○   六五二○
一一   六三三三 三三八一四九○  八○六一   三八七八   六一二二
一二   五七○五    三三五六  七八四三   四三一四   五六八六
一三   五○二一    五三七八  七六○六   四七八八   五二一二
一四   四二八○    七五六八  七三五○   五三○○   四七○○
一五   三四八三    九九二○  七○七六   五八四八   四一五二
一六   二六二八 三三九二四○○  六七八二   六四三六   三五六四
一七   一七一八    五○六八  六四六八   七○六四   二九三六
一八   ○七四九    七八六四  六一三八   七七二四   二二七六
一九 一八九七二三 三四○○八一○  五七八七   八四二六   一五七四
二○   八六三八    三九一二  五四一八   九一六四   ○八三六
二一   七四九六    七一五二  五○三○   九九四○   ○○六○
二二   六二九四 三四一○五三六  四六二三 三九○七五四 六○九二四六
二三   五○三四    四○五二  四一九七   一六○六   八三九四
二四   三七一六    七七一二  三七五四   二四九二   七五○八
二五   二三三九 三四二一四九二  三二九二   三四一六   六五八四
二六   ○九○三    五四○四  二八一二   四三七六   五六二四
二七 一七九四○八    九四三六  二三一四   五三七二   四六二八
二八   七八五四 三四三三五九四  一七九八   六四○四   三五九六
二九   六二四二    七九八○  一二六三   七四七四   二五二六
三○   四五七二 三四四二二三四  ○七一四   八五七二   一四二八
三一   二八四二    六七一六  ○一七四   九七○六   ○二九四
三二   一○五五 三四五一二九四 四九五六二 四○○八七六 五九九一二四
三三 一六九二一○    五九五六  八九六一   二○七八   七九二二
三四   七三○九 三四六○七○八  八三四五   三三一○   六六九○
三五   五三五○    五五三八  七七一二   四五七六   五四二四
三六   三三三五 三四七○四四○  七○六四   五八七二   四一二八
三七   二二六四    五四一四  六四○一   七一九八   二八○二
三八 一五九一三九 三四八○四四二  五七二三   八五五四   一四四六
三九   六九五九    五五一八  五○三一   九九三八   ○○六二
四○   四七二六 三四九○六四二  四三二六 四一一三四八 五八八六五二
四一   二四四二    五八○二  三六○七   二七八六   七二一四
四二   ○一○七 三五○○九八六  二八七五   四二五○   五七五○
四三 一四七七二○    六一九四  二一三一   五七三八   四二六二
四四   五二八五 三五一一四一四  一三七五   七二五○   二七五○
四五   二八○三    六六四○  ○六○七   八七八六   一二一四
四六   ○二七四 三五二一八六六 三九八二九 四二○三四二 五七九六五八
四七 一三七七○○    七○八○  九○四○   一九二○   八○八○
四八   五○八二 三五三二二七○  八二四○   三五一六   六四八四
四九   二四二一    七四四二  七四三四   五一三二   四八六八
五○ 一二九七二○ 三五四二五七八  六六一七   六七六六   三二三四
五一   六九七七    七六七二  五七九一   八四一八   一五八二
五二   四一九九 三五五二七一八  四九五九 四三○○八二 五六九九一八
五三   一三八八    七七一○  四一一九   一七六二   八二三八
五四 一一八五三九 三五六二六三六  三二七三   三四五四   六五四六
五五   五六五七    七五○二  二四一九   五一六二   四八三八
五六   二七四三 三五七二二八四  一五六○   六八八○   三一二○
五七 一○九八○○    六九九四  ○六九六   八六○八   一三九二
五八   六八二八 三五八一六○二 二九八二七 四四○三四六 五五九六五四
五九   三八二九    六一三二  八九五二   二○九六   七九○四
六○   ○八○五 三五九○五六○  八○七四   三八五二   六一四八
六一  九七七五八    四八八六  七一九三   五六一四   四三八六
六二   四六八九    九一○四  六三○九   七三八二   二六一八
六三   一五九七 三六○三二○八  五四二○   九一六○   ○八四○
六四  八八四八七    七一九二  四五三○ 四五○九四○ 五四九○六○
六五   五三六○ 三六一一○○八  三六三八   二七二四   七二七六
六六   二二一五    四八一二  二七四四   四五一二   五四八八
六七  七九○五四    八四二四  一八四七   六三○六   三六九四
六八   五八八二 三六二一九○四  ○九五○   八一○○   一九○○
六九   二六九五    五二六四  ○○五二   九八九六   ○一○四
七○  六九四九四    八四八六 一九一五一 四六一六九六 五三八三○四
七一   六二八五 三六三一五七○  八二五二   三四九六   六五○四
七二   三○六五    四五一六  七三五一   五二九八   四七○二
七三  五九八三七    七三一八  六四五○   七一○○   二九○○
七四   六六○○    九九八二  五五四九   八九○二   一○九八
七五   三三五七 三六四二四九六  四六四八 四七○七○四 五二九二九六
七六   ○一○八    四八七○  三七四七   二五○六   七四九四
七七  四六八五四    七○八六  八四六   四三○八   五六九二
七八   三五九四    九一五六  一九四六   六一○八   三八九二
七九   ○三三一 三六五一○八二  一○四六   七九○八   二○九二
八○  三七○六四    二八六四  一四六   九七○八   ○二九二
八一   三七九四    四四九○ ○九二四六 四八一五○八 五一八四九二
八二   ○五七八    五九六六  八三四六   三三○八   六六九二
八三  二七二四九    七二九二  四四九   五一○二   四八九八
八四   三九七三    八四七四  六五五二   六八九六   三一○四
八五   ○六九六    九五○○  五六五五   八六九○   一三一○
八六  一七六一八 三六六○三七○   四七五八 四九○四八四 五○九五一六
八七   四一四○    一一○八  三八六二   二二七六   七七二四
八八   ○八六二    一六七八  二九六六   四○六八   五九三二
八九  ○七五八二    二○九八  二○七○   五八六○   四一四○
九○   四三○三    二三七四  一一七四   七六五二   二三四八
九一   一○二四    二四九四  ○二七九   九四四二   ○五五八
九一三一   ○○○○ 三六六二五○○  ○○○○ 五○○○○○ 五○○○○○

右曆草所載晝夜刻分,乃大都即燕京晷漏也。夏晝、冬夜極長,六十一刻八十四分,冬晝、夏夜極短,三十八刻一十六分。明既遷都於燕,不知遵用。惟正統己巳奏准頒曆用六十一刻,而羣然非之。景泰初仍復用南京晷刻,終明之世未能改正也。

二至出入差圖圖闕