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明史
  卷三十二 ‧ 志第八  曆二

大統曆法一上法原

造曆者各有本原,史宜備錄,使後世有以考。如太初之起數鍾律,大衍之造端蓍策,皆詳本志。授時曆以測驗算術為宗,惟求合天,不牽合律呂、卦爻。然其法之所以立,數之所從出,以及晷影、星度,皆有全書。郭守敬、齊履謙傳中,有書名可考。元史漫無采摭,僅存李謙之議錄、曆經之初稿。其後改三應率及立成之數,與夫割圓弧矢之法,平立定三差之原,盡削不載。使作者精意湮沒,識者憾焉。今據大統曆通軌及曆草諸書,稍為編次,首法原,次立成,次推步。而法原之目七:曰句股測望,曰弧矢割圓,曰黃赤道差,曰黃赤道內外度,曰白道交周,曰日月五星平立定三差,曰里差刻漏。

句股測望

北京立四丈表,冬至日午正,測得景長七丈九尺八寸五分。隨以簡儀測到太陽南至地平二十六度四十六分半,為半弧背。求得矢度,五度九十一分半。置周天半徑,截矢餘五十四度九十六分為股,乃本地去戴日下之度。以弦股別句術,求得句二十六度一十七分六十六秒,為日出地半弧弦。

北京立四丈表,夏至日午正,測得景長一丈一尺七寸一分。隨以簡儀測到太陽南至地平七十四度二十六分半,為半弧背。求得矢度,四十三度七十四分少。置周天半徑,截矢餘一十七度一十三分二十五秒為句,乃本地去戴日下之度。以句弦別股術,求得股五十八度四十五分半,為日出地半弧弦。

以二至日度相併,得一百度七十三分,折半得五十度三十六分半,為北京赤道出地度。以赤道出地度轉減周天四之一,餘四十度九十四分九十三秒七十五微,為北京北極出地度。

弧矢割圓

周天徑一百二十一度七十五分少。少不用。
半徑六十○度八十七分半。又為黃赤道大弦。
二至黃赤道內外半弧背二十四度。所測就整。
二至黃赤道弧矢四度八十四分八十二秒。 
黃赤道大句二十三度八十分七十秒。 
黃赤道大股五十六度○二分六十八秒。半徑內減去矢度之數。

割圓求矢術 置半弧背度自之,為半弧背羃,周天徑自之,為上廉。 上廉乘半弧背羃,為正實。 上廉乘徑,為益從方。 半弧背倍之,乘徑,為下廉。 以初商乘上廉,得數以減益從方,餘為從方。 置初商自之以減下廉,餘以初商乘之,為從廉。 從方、從廉相並,為下法。 下法乘初商,以減正實,實不足減,改初商。實有不盡,次第商除之。 倍初商數,與次商相並以乘上廉,得數以減益從方,餘為從方。 并初商次商而自之,又以初商自之,並二數以減下廉,餘以初商倍數並次商乘之,為從廉。 從方、從廉相並,為下法。 下法乘次商,以減餘實,而定次商。有不盡者,如法商之,皆以商得數為矢度之數。黃赤道同用。

如以半弧背一度求矢度。 術曰:置半弧背一度自之,得一度,為半弧背羃。 置周天徑一百二十一度太自之,得一萬四千八百二十三度○六分二十五秒,為上廉。 上廉乘半弧背羃,得一萬四千八百二十三度○六分二五,為正實。 上廉又乘徑,得一百八十○萬四千七百○七度八十五分九十三秒七五,為益從方。 半弧背一度倍之,得二度,以乘徑得二百四十三度五十分,為下廉。 初商八十秒。 置初商八十秒乘上廉一萬四千八百二十三度○六二五,得一百一十八度五八四五,以減益從方一百八十○萬四千七百○七度八五九三七五,餘一百八十○萬四千五百八十九度二七四八七五,為從方。 又置初商八十秒自之,得六十四微,以減下廉,餘二百四十三度四九九九三六。仍以八十秒乘之,得一度九四七九九九四八八,為從廉。 以從廉、從方並之,共得一百八十○萬四千五百九十一度二二二八七四四八八,為下法。 下法乘初商,得一萬四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九○四,以減正實,餘實三百八十六度三十三分二七一七○○四○九六。 次商二秒。置初商八十秒倍之,得一分六十秒。加次商二秒,得一分六十二秒,乘上廉一萬四千八百二十三度○六二五,得二百四十○度一三三六一二五,以減益從方,餘一百八十○萬四千四百六十七度七二五七六二五,為從方。 又置初次商八十二秒自之,得六十七微。加初商八十秒自之之數,得一秒三十一微,以減下廉,餘二百四十三度四九九八六九。以前所得一分六十二秒乘之,得三度九十四分四六九七八七七八,為從廉。 以從廉、從方並,得一百八十○萬四千四百七十一度六十七分○四六○三七七八,為下法。 下法乘次商,得三百六十○度八九四三三四○九二○七五五六,以減餘實,仍餘二十五度四三八三八二九一二○二○四四。不足一秒棄不用,下同。

凡求得矢度八十二秒,餘度各如上法,求到矢度,以為黃赤相求及其內外度之根。數詳後。

黃赤道差

求黃道各度下赤道積度術。 置周天半徑內減去黃道矢度,餘為黃赤道小弦。 置黃赤道小弦,以黃赤道大股乘之大股見割圓為實。 黃赤道大弦半徑為法。實如法而一,為黃赤道小股。 置黃道矢自乘為實,以周天全徑為法,實如法而一,為黃道半背弦差。 以差去減黃道積度,即黃道半弧背。餘為黃道半弧弦。 置黃道半弧弦自之為股羃,黃赤道小股自之為句羃,二羃並之,以開平方法除之,為赤道小弦。 置黃道半弧弦,以周天半徑亦為赤道大弦乘之為實,以赤道小弦為法而一,為赤道半弧弦。 置黃赤道小股,亦為赤道橫小句。以赤道大弦即半徑乘之為實,以赤道小弦為法而一,為赤道橫大句,以減半徑,餘為赤道橫弧矢。橫弧矢自之為實,以全徑為法而一,為赤道半背弦差。 以差加赤道半弧弦,為赤道積度。

如黃道半弧背一度,求赤道積度。 術曰:置半徑六十○度八十七分五十秒,即黃赤道大弦。內減黃道矢八十二秒餘六十○度八六六八,為黃赤道小弦。 置黃赤道小弦,以黃赤道大股五十六度○二六八乘之,得三千四百一十○度一七二○三○二四為實,以黃赤道大弦六十○度八七五為法,實如法而一,得五十六度○一分九十二秒,為黃赤道小股。又為赤道小句。 置矢度八十二秒自之,得六十七微,以全徑一百二十一度七五為法,除之得五十五纖,為黃道半背弦差。 置黃道半弧背一度,內減黃道半背弦差,餘為半弧弦,因差在微以下不減,即用一度為半弧弦。 置黃道半弧弦一度自之,得一度為股羃。黃赤道小股五十六度○一九二自之,得三千一百三十八度一五○七六八六四為句羃。二羃並得三千一百三十九度一五○七六八六四為弦實,平方開之,得五十六度○二八一,為赤道小弦。 置黃道半弧弦一度,以半徑即赤道大弦乘之,得六十○度八七五為實,以赤道小弦五十六度○二八一為法除之,得一度○八分六十五秒,為赤道半弧弦。 置黃赤道小股五十六度○一九二,又為赤道小句。以赤道大弦半徑六十○度八七五乘之,得三千四百一十○度一六八八為實,以赤道小弦為法除之,得六十○度八十六分五十三秒,為赤道橫大句。 置半徑六十○度八十七分五十秒,內減赤道大句六十○度八十六分五十三秒,餘九十七秒,為赤道橫弧矢。 置赤道橫弧矢九十七秒自之,得九十四微○九,以全徑為法除之,得七十七纖,為赤道背弦差。 置赤道半弧弦一度○八分六十五秒,加赤道背弦差,為赤道積度,今差在微已下不加,即用半弧弦為積度。

凡求得赤道積度一度○八分六十五秒。餘度各如上法,求到各黃道度下赤道積度,兩數相減,即得黃赤道差,乃至後之率。其分後,以赤道度求黃道,反此求之,其數並同。

黃赤道相求弧矢諸率立成上

至後黃分後赤道積度 黃道矢度 黃道矢差 黃道半弧弦,又為赤道小股 黃赤道小股,又為赤道小句 赤道小弦
十度十分 十度十分十秒 十度十分十秒 十度十分十秒 十度十分十秒 十度十分十秒
 初          
 一   八二   ○二四六  一○○○○ 五六○一九二 五六○二八一
 二   ○三二八   ○四一一  二○○○○ 五五九九六六   ○三二三
 三   ○七三九   ○五七六  二九九九九   九五八八   ○三九一
 四   一三一五   ○七四一  三九九九九   九○五八   ○四八七
 五   二○五六   ○九○七  四九九九七   八三七六   ○六一○
 六   二九六三   一○七三  五九九九三   七五四一   ○七五九
 七   四○三六   一二四○  六九九八七   六五五三   ○九三六
 八   五二七六   一四○八  七九九七七   五四一二   一一四○
 九   六六八四   一五七六  八九九六三   四一一六   一三七一
一○   八二六○   一七四五  九九九四四   二六六六   一六三○
 一  一○○○五   一九一六 一○九九一八   一○六○   一九一五
 二   一九二一   二○八七 一一九八八三 五四九二九六   二二二六
 三   四○○八   二二五八 一二九八三九   七三七五   二五六五
 四   六二六六   二四三○ 一三九七八三   五二九七   二九二八
 五   八六九六   二六○五 一四九七一三   三○六一   三三二○
 六  二一三○一   二七七九 一五九六二八   ○六六三   三七三五
 七   四○八○   二九五五 一六九五二四 五三八一○六   四一七八
 八   七○三五   三一三○ 一七九四○○   五三八九   四六四四
 九  三○一六五   三三○七 一八九二五三   二五○五   五一三五
二○   三四七二   三四八五 一九九○八○ 五二九四六二   五六五二
 一   六九五七   三六六三 二○八八七八   六二五四   六一九二
 二  四○六二○   三八四二 二一八六四五   二八八二   六七五六
 三   四四六二   四○二○ 二二八三七六 五一九二四七   七三四二
 四   八四八二   四二○○ 二三八○七○   五六四七   七九五二
 五  五二六八二   四三七九 二四七七二一   一七八一   八五八二
 六   七○六一   四五五九 二五七三二六 五○七七五一   九二三四
 七  六一六二○   四七三八 二六六八八一   三五五五   九九○六
 八   六三五八   四九一七 二七六三八二 四九九二九九 五七○五九九
 九  七一二七五   五○九五 二八五八二八   四六六九   一三一○
三○   六三七○   五二七三 二九五二一○ 四八九九八○   二○三九
 一  八一六四三   五四五○ 三○四五三五   五一二七   二七八六
 二   七○九三   五六二六 三一三七六○   ○一一一   三五四九
 三  九二七一九   五八○一 三二二九三九 四七四五三三   四三二六
 四   八五二○   五九七四 三三二○二八 四六九五九四   五一一八
 五 一○四四九四   六一四五 三四一○三二   四○九六   五九二三
 六 一一○六三九   六三一四   九九四六 四五八四四○   六七四○
 七   六九五三   六四八一 三五八七六六   二六二九   七五六九
 八 一二三四三四   六六四七 三六七四八六 四四六六六四   八四○七
 九 一三○○八一   六八○八 三七六一○二   ○五四七   九二五二
四○   六八八九   六九六七 三八四六○九 四三四二八二 五八○一○七
 一 一四三八五六   七一二四 三九三○○三 四二七八六九   ○九六七
 二 一五○九八○   七二七六 四○一二六七   一三一二   一八三一
 三   八二五六   七四二六   九四二九 四一四六一六   二六九九
 四 一六五六八二   七五七一 四一七四五四 四○七七八二   三五六九
 五 一七三二五三   七七一二 四二五三四六   ○八二二   四四四○
 六 一八○九六五   七八五○ 四三三一○二 三九三七一五   五三一一
 七 一八八八一五   七九八四 四四○七一八 三八六四九○   六一八○
 八 一九六七九九   八一一二   八一八九 三七九一四三   七○四五
 九 二○四九一一   八二三七 四五五五一三 三七一六七六   七九○七
五○ 二一三一四八   八三五七 四六二六八四 三六四○九五   八七六三
 一 二二一五○五   八四七二   九七○一 三五六四○四   九六一二
 二   九九七七   八五八三 四七六五五九 三四八六○七 五九○四五三
 三 二三八五六○   八六八八 四八三二五六   ○七○七   一二八五
 四 二四七二四八   八七八九   九七八九 三三二七一一   二一○六
 五 二五六○三七   八八八五 四九六一五六 三二四六二二   二九一七
 六 二六四九二二   八九七七 五○二三五四 三一六四四五   三七一四
 七 二七三八九九   九○六三   八三八二 三○八一八三   四四九九
 八  八二九六二   九一四四 五一四二三六 二九九八四一   五二六七
 九 二九二一○六   九二二二   九九一七   一四二六   六○二二
六○ 三○一三二八   九二九四 五二五四二二 二八二九三八   六七六○
 一 三一○六二二   九三六一 五三○七五一 二七四三八四   七四八一
 二   九九八三   九四二六   五九○二 二六五七六九   八一八四
 三 三二九四○九   九四八五 五四○八七五 二五七○九四   八八六八
 四 三三八八九四   九五三八   五六六八 二四八三六四   九五三二
 五 三四八四三二   九五九○ 五五○二八四 二三九五八六 六○○一七八
 六 三五八○二二   九六三八   四七一九   ○七五九   ○八○二
 七 三六七六六○   九六八一   八九七四 二二一八八九   一四○四
 八 三七七三四一   九七一九 五六三○五○ 二一二九七九   一九八四
 九 三八七○六○   九七五六   六九四八 二○四○三四   二五四四
七○ 三九六八一六   九七八九 五七○六六七 一九五○五五   三○八一
 一 四○六六○五   九八一八   四二○七 一八六○四六   三五九五
 二 四一六四二三   九八四五   七五七○ 一七七○二○   四○八六
 三 四二六二六八   九八六八 五八○七五六 一六七九四九   四五五三
 四 四三六一三六   九八九一   三七六六 一五八八七六   四九九七
 五 四四六○二七   九九一○   六六○○ 一四九七六三   五四一六
 六 四五五九三七   九九二五   九二五八   ○六四三   五八一○
 七 四六五八六二   九九四○ 五九一七四四 一三一五○八   六一八一
 八 四七五八○二   九九五二   四○五六 一二二三五九   六五二六
 九 四八五七五四   九九六二   六一九六 一一三二○○   六八四七
八○ 四九五七一六   九九七二   八一六五 一○四○三二   七一四四
 一 五○五六八八   九九七九   九九六三 ○九四八五四   七四一五
 二 五一五六六七   九九八四 六○一五九二 ○八五六七○   七六六一
 三 五二五六五一   九九八九   三○五二 ○七六四八一   七八八二
 四 五三五六四○   九九九三   四三四五 ○六七二八七   八○七九
 五 五四五六三三   九九九六   五四七○ ○五八○九○   八二五○
 六 五五五六二九   九九九七   六四一八 ○四八八九○ 六○八三九五
 七 五六五六二六   九九九九   七二二二 ○三九六一九   八五一八
 八 五七五六二五  一○○○○   七八四九 ○三○四八七   八六一三
 九 五八五六二五   ○○○○   八三一一 ○二一二八三   八六八三
九○ 五九五六二五   ○○○○   八六○九 ○一二○七九   八七二九
 一 六○五六二五  ○三一二五   八七四二 ○○二八七六   八七四九
 一三一   八七五○   ○○○○   八七五○   ○○○○   八七五○

黃赤相求弧矢諸率立成下

至後黃分後赤道積度 赤道半弧弦 赤道矢度 至後赤分後黃道積度 度率 黃赤道差
十度十分 十度十分十秒 十度十分十秒 十度十分十秒 十度十分十秒 十度十分十秒
 初           一○八六五  
 一  一○八六五     九七  一○八六五   ○八六一   ○八六五
 二  二一七二八   ○三八八  二一七二八   ○八六○   一七二八
 三  三二五八七   ○八七五  三二五八八   ○八五七   二五八八
 四  四三四四三   一五五三  四三四四五   ○八四九   三四四五
 五  五四二九○   二四二五  五四二九四   ○八四三   四二九四
 六  六五一二七   三四九四  六五一三七   ○八三三   五一三七
 七  七五九五二   四七五七  七五九七○   ○八二三   五九七○
 八  八六七六二   六二一四  八六七九三   ○八一二   六七九三
 九  九七五五五   七八一四  九七六○五   ○八○一   七六○五
一○ 一○八三二九   九七一六 一○八四○六   ○七八六   八四○六
 一 一一九○六九  一一七六○ 一一九一一二   ○七七二   九一九二
 二 一二九八○三   四○○○ 一二九九六四   ○七五五   九九六四
 三 一四○四九八   六四三五 一四○七一九   ○七四○  一○七一九
 四 一五一一六一   九○六七 一五一四五九   ○七二○   一四五九
 五 一六一七九六  二一八九三 一六二一七九   ○七○四   二一七九
 六 一七二三七四   四九一五 一七二八八三   ○六八四   二八八三
 七 一八二九一七   八一三二 一八三五六七   ○六六三   三五六七
 八 一九三四一三  三一五四四 一九四二三○   ○六四二   四二三○
 九 二○三八五八   五一五○ 二○四八七二   ○六二二   四八七二
二○ 二一四二四八   八九四八 二一五四九四   ○五九九   五四九一
 一 二二四五七八  四二九四八 二二六○九三   ○五七五   六○九三
 二 二三四八四五   七一二四 二三六六六八   ○五五四   六六六八
 三 二四五○四四  五一四九八 二四七二二二   ○五三○   七二二二
 四 二五五一七一   六○六一 二五七七五二   ○五○六   七七五二
 五 二六五二二一  六○八一四 二六八二五八   ○四八二   八二五八
 六 二七五一八九   五七五一 二七八七四○   ○四五六   八七四○
 七 二八五○七一  七○八七四 二八九一九六  一○四三二  一九一九六
 八 二九四八六二   六一七八 二九九六二八   ○四○八   九六二八
 九 三○四五五九  八一六六四 三一○○三六   ○三八二  二○○三六
三○ 三一四一五五   七三二六 三二○四一八   ○三五五   ○四一八
 一 三二三六四五 九三二六三 三三七七七三   ○三三二   ○七七三
 二 三三三○二七   九一七三 三四一一○五   ○三○六   一一○五
 三 三四二二九五 一○五三五一 三五一四一一   ○二八○   一四一一
 四 三五一四四四 一一一六九五 三六一六九六   ○二五四   一六九一
 五 三六○四七○   八二○二 三七一九四五   ○二二九   一九四五
 六   九三六八 一二四八六六 三八二一七四   ○二○三   二一七四
 七 三七八一三四 一三一六八六 三九二三七七   ○一七七   二三七七
 八 三八六七六四   八六五四 四○二五五四   ○一五二   二五五四
 九 三九五二五四 一四五七七○ 四一二七○六   ○一二六   二七○六
四○ 四○三五九九 一五三○二七 四二二八三二   ○一○二   二八三二
 一 四一一七九七 一六○四二○ 四三二九三○   ○○七五   二九三○
 二   九八四二   七九四六 四四三○○九   ○○四九   三○○九
 三 四二七七三三 一七五五九八 四五三○五八   ○○二七   三○五八
 四 四三五四六七 一八三三七三 四六三○八五 ○一○○○○   三○八五
 五 四四三○五八 一九一二六五 四七三○八五   九九七四   三○八五
 六 四五○四四五   九二六五 四八三○五九   九九五一   三○五九
 七   七六八七 二○七三七九 四九三○一○   九九二五   三○一○
 八 四六四七六○ 二一五五九○ 五○二九三五   九九○一   二九三五
 九 四七一六六二 二二三八九七 五一二八三六   九八九六   二八三六
五○   八三九一 二三二二九五 五二二七一二   九八五一   二七一二
 一 四八四九四六 二四○七七八 五三二五六三   九八二七   二五六三
 二 四九一三二六   九三四一 五四二三九○   九八○三   二三九○
 三   七五三○ 二五七九八○ 五五二一九三   九七八○   二一九三
 四 五○三五五六 二六六六八七 五六一九七三   九七五五   一九七三
 五   九四○五 二七五四六○ 五七一七二八   九七三一   一七二八
 六 五一五○七六 二八四二九一 五八一四五九   九七○八   一四五九
 七 五二○五六八 二九三一八○ 五九一一六七   九六八五   一一六七
 八   五八八三 三○二一一八 六○○八五二   九六六一   ○八五二
 九 五三一○一九 三一一一○二 六一○五一三   九六三九   ○五一三
六○   五九七八 三二○一二八 六二○一五二   九六一六   ○一五二
 一 五四○七六一   九一九一   九七六八   九五九四  一九七六八
 二   五三六八 三三八二八七 六三九三六二   九五七二   九三六二
 三   九八○○ 三四七四一四 六四八九三四   九五五一   八九三四
 四 五五四○五七 三五六五六八 六五八四八五   九五二九   八四八五
 五   八一四三 三六五七四二 六六八○一四   九五○九   八○一四
 六 五六二○五七 三七四九三九 六七七五二三   九四八七  一七五二三
 七   五八○一 三八四一五一 六八七○一○   九四七○   七○一○
 八   九三七九 三九三三七八 六九六四八○   九四五○   六四八○
 九 五七二七九○ 四○二六一五 七○五九三○   九四二七   五九三○
七○   六○三一 四一一八六二 七一五三五七   九四一二   五三五七
 一   九一一一 四二一一一六 七二四七六九   九三九二   四七六九
 二 五八二○二九 四三○三七四 七三四一六一   九三八五   四一六一
 三   四七八七   九六三六 七四三五四六   九三五三   三五四六
 四   七三八七 四四八八九九 七五二八九九   九三四三   二八九九
 五   九八三○ 四五八一六三 七六二二四二   九三二九   二二四二
 六 五九二一一七 四六七四二五 七七一五七一   九三一五   一五七一
 七   四二五一 四七六六八五 七八○八八六   九三○四   ○八八六
 八   六二三四 四八五九四四 七九○一九○   九二八六   ○一九○
 九   八○六五 四九五一九五   九四七六   九二七五  ○九四七六
八○   九七四七 五○四四四三 八○八七五一   九二六五   八七五一
 一 六○一二八一 五一三六八八 八一八○一六   九二五五   八○一六
 二   二六七四 五二二九二七 八二七二七一   九二四四   七二七一
 三   三九一三 五三二一五九 八三六五一五   九二三八   六五一五
 四   五○一二 五四一三八九 八四五七五三   九二二八   五七五三
 五   五九六七 五五○六一三 八五四九八一   九二二二   四九八一
 六   六七八一   九八三二 八六四二○三   九二一五   四二○三
 七   七四五三 五六九○四六 八七三四一八   九二一二   三四一八
 八   七九八五 五七八二五七 八八二六三○   九二一○   二六三○
 九   八三七一 五八七四六五 八九一八四○   九二○四   一八四○
九○   八六三○ 五九六六七一 九○一○四四   九二○四   一○四四
 一   八七四三 六○五六七四 九一○二四八   二八七七   ○二四八
 一三一   八七五○   八七五○   三一二五   ○○○○   ○○○○

按郭守敬創法五端,內一曰黃道差,此其根率也。舊法以一百一度相減乘。授時立術,以句股、弧矢、方圓、斜直所容,求其差數,合於渾象之理,視古為密。顧至元曆經所載甚略,又誤以黃道矢度為積差,黃道矢差為差率,今正之。

割圓弧矢圖圖闕

凡渾圓中剖,則成平圓。任割平圓之一分,成弧矢形,皆有弧背,有弧弦,有矢。剖弧矢形而半之,則有半弧背,有半弧弦,有矢。因弦矢生句股形,以半弧弦為句,矢減半徑之餘為股,半徑為弦。句股內成小句股,則有小句、小股、小弦,而大小可互求,平側可互用,渾圓之理,斯為密近。

側立之圖圖闕

平者為赤道,斜者為黃道。因二至黃赤之距,生大句股。因各度黃赤之距,生小句股。

平視之圖圖闕

外大圓為赤道。從北極平視,則黃道在赤道內,有赤道各度,即各有其半弧弦,以生大句股。又各有其相當之黃道半弧弦,以生小句股。此二者皆可互求。

按舊史無圖,然表亦圖之屬也。今句股割圓弧矢之法,實為曆家測算之本。非圖不明,因存其要者數端。

黃赤道內外度

推黃道各度,距赤道內外及去極遠近術。 置半徑內減去赤道小弦,餘為赤道二弦差。又為黃赤道小弧矢,又為內外矢,又為股弦差。 置半徑內減去黃道矢度,餘為黃赤道小弦。以二至黃赤道內外半弧弦乘之為實,以黃赤道大弦為法,即半徑。除之為黃赤道小弧弦。即黃赤道內外半弧弦,又為黃赤道小句。 置黃赤道小弧矢自之,即赤道二弦差。以全徑除之,為半背弦差。以差加黃赤道小弧弦為黃赤道小弧半背,即黃赤道內外度。 置黃赤道內外度,視在盈初縮末限以加,在縮初盈末限以減,皆加減象限度,即各得太陽去北極度分。

如冬至後四十四度,求太陽去赤道內外及去極度。 術曰:置半徑六十○度八十七分半,內減黃道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒,餘二度五十一分八十一秒,為黃赤道小弧矢。即內外矢。 置半徑六十○度八七五,內減黃道四十四度,矢一十六度五十六分八十二秒,餘四十四度三十○分六十八秒,為黃赤道小弦。 置黃赤道小弦,以二至黃赤道內外半弧弦二十三度七十一分乘之,得一千○五十○度五十一分四二三八為實,以黃赤道大弦六十○度八七五為法除之,得一十七度二十五分六十九秒為黃赤道小弧弦。即內外半弧弦。 置黃赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自之為實,以全徑一百二十一度七十五分除之,得五分二十一秒為背弦差,以差加黃赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒,得一十七度三十○分八十九秒,為二至前後四十四度,太陽去赤道內外度。 置象限九十一度三十一分四十三秒七五,以內外度一十七度三○八九加之,得一百○八度六十二分三十二秒七五,為冬至後四十四度太陽去北極度。

黃道每度去赤道內外及去北極立成

黃道積度 黃赤內外矢,又為赤道二弦差 內外半弧弦,又為黃赤小弧弦 內外度,又為黃赤道小弧半背 冬至前後去極度 夏至前後去極度
十度分 十度十分十秒 十度十分十秒 十度十分十秒  十度十分十秒 十度十分十秒
 初 ○四八四八二 二三七一○○ 二三九○三○ 一一五二一七三 六七四一一三
 一   八四六九   七○七八   八九九七    二一四○   四一四六
 二   八四二七   六九七二   八八九八    二○四一   四二四五
 三   八三五九   六八一二   八七三二    一八七五   四四一一
 四   八二六三   六五八八   八五四一    一六四四   四六四二
 五   八一四○   六二九九   八二○二    一三四五   四九四一
 六   七九九一   五九四六   七八三八    ○九八○   五三○六
 七   七八一四   五五二八   七四○五    ○五四八   五七三八
 八   七六一○   五○四五   六九○七    ○○五○   六二三六
 九   七四九九   四四九六   六三四二 一一四九四八五   六八○一
一○   七一二○   三八八三   五七○六    八八四九   七四三七
 一   六八三五   三二○三   五○○四    八一四七   八一三九
 二   六五二四   二四五七   四二三五    七三七八   八九○八
 三   六一八七   一六四四   三三九六    六五三九   九七四七
 四   五八二二   ○七六四   二四八八    五六三一 六八○六五五
 五   五四三○ 二二九八一八   一五一三    四六五六   一六三○
 六   五○一五   八八○二   ○四六六    三六○九   二六七七
 七   四五七二   七七二一 二二九三五二    二四九五   三七九一
 八   四二○六   六五七○   八一六七    一三一○   四九七六
 九   三六一五   五三五一   六九一三    ○○五六   六二三○
二○   三○九八   四○六三   五五八八 一一三八七三一   七五五五
 一   二五五八   二七○六   四一九三    七三三六   八九五○
 二   一九九四   一二七九   二七二七    五八七○ 六九○四一六
 三   一四○八 二一九七八二   一一九○    四三三三   一九五三
 四   ○七九八   八二一七 二一九五八四    二七二七   三五五九
 五   ○一六八   六五八一   七九○六    一○四九   五二三七
 六  三九五一六   四八七五   六一五九 一一二九三○二   六九八四
 七   八八四四   三一○○   四三三九    七四八二   八八○四
 八   八一五一   一二五四   二四四九    五五九二 七○○六九四
 九   七四四○ 二○九三三九   ○四八九    三六三二   二六五四
三○   六七一一   七三五五 二○八四六二    一六○五   四六八一
 一   五九六四   五三○一   六三六三 一一一九五○六   六九八○
 二   五二○一   二二七八   四一九五    七三三八   八九四八
 三   四四二四   ○九八七   一九六○    五一○三 七一一一八三
 四   三六三二 一九八七二八 一九九六五七    二八○○   三四八六
 五   二八二七   六四○一   七二八六    ○四二九   五八五七
 六   二○一○   四○○八   四八四九 一一○七九九二   八二九四
 七  三一一八一 一九一五四八 一九二三四六 一一○五四八九 七二○七九七
 八   ○三四三 一八九○二四 一八九七八○    二九二三   三三六三
 九  二九四九七   六四三五   七一四九    ○二九二   五九九四
四○   八六四三   三七八三   四四五六 一○九七五九九   八六八七
 一   七七八三   一○七○   一七○四    四八四七 七三一四三九
 二   六九一九 一七八二九五 一七八八九○    三○三三   四二五三
 三   六○五一   五四六一   六○一八 一○八九一六一   七一二五
 四   五一八一   二五六九   三○八九    六二三二 七四○○五四
 五   四三一○ 一六九六二○   ○一○五    三二四八   三○三八
 六   三四三九   六六一六 一六七○六七    ○二一○   六○七六
 七   二五七○   三五五九   三九七七 一○七七一二○   九一六六
 八   一七○五   ○四四九   ○八三六    三九九九 七五二三○七
 九   ○八四三 一五七二八九 一五七六四五    ○七八八   五四九八
五○  一九九八七   四○八一   四四○九 一○六七五五二   八七三四
 一   九一三八   ○八二三   一一二四    四二六七 七六二○一九
 二   八二九七 一四七五二三 一四七七九八    ○九四一   五三四五
 三   七四六五   四一八四   四四三四 一○五七五七七   八七○九
 四   六六四四   ○八○○   一○二七    四一七○ 七七二一一六
 五   五八三三 一三七三七七 一三七五八二    ○七二五   五五六一
 六   五○三六   三九一六   四一○一 一○四七二四四   九○四二
 七   四二五一   ○四二○   ○五八六    三七二九 七八二五五七
 八   三四八三 一二六八九○ 一二七○三九    ○一八二   六一○四
 九   二七二八   三三二八   三四六一 一○三六六○四   九六八二
六○   一九九○ 一一九七三六 一一九八五四    二九九七 七九三二八九
 一   一二六九   六一一七   六二二一 一○二九三六四   六九二二
 二   ○五六六   二四七一   二五六二    五七○五 八○○五八一
 三  ○九八八二 一○八七九九 一○八八七九    二○二二   四二六四
 四   九二一八   五一○五   五一七四 一○一八三一七   七九六九
 五   八五七二   一三九○   一四五○    四五九三 八一一六九三
 六   七九四八 ○九七六五五 ○九七七○六    ○八四九   五四三七
 七   七三四六   三九○一   三九四五 一○○七○八八   九一九八
 八   六七六六   ○一三二   ○一六九    三三一二 八二二九七四
 九   六二○六 ○八六三四七 ○八六三七八 ○九九九五二一   六七六五
七○   五六六九   二五四五   二五七一    五七一四 八三○五七二
 一   五一五五 ○七八七三三 ○七八七五四    一八九七   四三八九
 二   四六六四   四九○九   四九二六 ○九八八○六九   八二一七
 三   四一九七   一○四七   一○八八    四二三一 八四二○五五
 四   三七五三 ○六七二三○ ○六七二四一    ○三八四   五九○二
 五   三三三四   三三七八   三三八七 ○九七六五三○   九七五六
 六  ○二九四○ ○五九五一八 ○五九五二五 ○九七二六六八 八五三六一八
 七   二五六九   五六五三   五六五八 ○九六八八○一   七四八五
 八   二二二四   一七八一   一七八五    四九二八 八六一三五八
 九   一九○三 ○四七九○五 ○四七九○八    一○五一   五二三五
八○   一六○六   四○二五   四○二七 ○九五七一七○   九一一六
 一   一三三五   ○一四一   ○一四二    三二八五 八七三○○一
 二   一○八九 ○三六二五四 ○三六二五四 ○九四九三九七   六八八九
 三   ○八六八   二三六五   二三六五    五五○八 八八○七七八
 四   ○六七一 ○二八四七五 ○二八四七五    一六一八   四六六八
 五   ○五○○   四五八三   四五八三 ○九三七七二六   八五六○
 六   ○三五五   ○六九○   ○六九○    三八三三 八九二四五三
 七   ○二三二 ○一六七九六 ○一六七九六 ○九二九九三九   六三四七
 八   ○一三七   二九○二   二九○二    六○四五 九○○二四一
 九   ○○六七 ○○九○○七 ○○九○○七    二一五○   四一三六
九○   ○○二一   五一一二   五一一二 ○九一八二五五   八○三一
 一   ○○○一   一二一七   一二一七    四三六○ 九一一九二六
 一三一   ○○○○   ○○○○   ○○○○    三一四三   三一四三

白道交周

推白赤道正交,距黃赤道正交極數。 術曰:置實測白道出入黃道內外六度為半弧弦,又為大圓弧矢,又為股弦差。置半徑六十○度八七五自之,得三千七百○五度七六五六二五,以矢六度而一,得六百一十七度六十三分為股弦和,加矢六度,共六百二十三度六十三分為大圓徑。依法求得容闊五度七十分,又為小句。 又以二至出入半弧弦二十三度七十一分為大句。 以大句為法,除大股五十六度○六分五十秒,得二度三十七分就整為度差。以度差乘小句,得小股一十三度四十七分八十二秒,為容半長。 置半徑六十○度八七五為大弦,以乘小句五度七十分為實,以大句二十三度七十一分為法除之,得一十四度六十三分為小弦,又為白赤道正交,距黃赤道正交半弧弦。依法求得半弧背一十四度六十六分,為白赤道正交距黃赤道正交極數。

月道距差圖圖闕